در صورت عدم استفاده از واگرایی

تست واگرایی معمولاً اولین آزمایش این است که آیا یک سری همگرا یا نه. این بسیار ساده است ؛ما واقعاً فقط می پرسیم که آیا دوره دوم یک سری به صفر همگرا می شود ، اما آزمایش واگرایی محدودیت های مهمی دارد که باید بلافاصله از راه خارج شویم.

*آزمایش واگرایی می تواند تعیین کند که آیا یک سری متفاوت است و اگر واگرایی کند ، احتمالاً نمی تواند همگرا شود. اما آزمایش واگرایی ، آزمایش همگرایی نیست.

یک سریال می تواند آزمایش واگرایی را پشت سر بگذارد (به نظر می رسد همگرایی است) ، و هنوز هم در صورت قرار دادن یک آزمایش دیگر واگرایی می کند.

تست واگرایی

اگر دوره n ، الف_nیک سری به صفر کاهش نمی یابد ، پس

آزمایش واگرایی می تواند تعیین کند که آیا یک سری بی نهایت واگرایی دارد ، اما نه آیا همگرا می شود. به عبارت دیگر ، مکالمه نتیجه تست واگرایی لزوماً صحیح نیست.

گفتگو

در منطق ، ما می توانیم با یک مورد روبرو شویم که در آن ، اگر چیزی (ما آن را P خواهیم نامید) درست باشد ، باید چیز دیگری (به نام Q) درست باشد. ما آن را به عنوان P → Q می نویسیم.

مکالمه آن جمله Q → P. است. مکالمه گزاره ای مانند P → q ممکن است صحیح باشد ، اما لزوماً صحیح نیست.

یعنی فقط به این دلیل که یک B را اثبات می کند ، به این معنی نیست که B اثبات A را اثبات می کند.

اثبات:

ما با جمع جزئی یک سری ، s شروع می کنیم_n ,

$ $ s_n = (a_1 + a_2 + dots + a_) + a_n $ $

توجه داشته باشید که ما A را نگه داشته ایم_nاصطلاح در خارج برای دادن مبلغی از a_nو مجموعه ای از S_n , S_n-1 :

اکنون ما جایگزین S خواهیم شد_n-1برای این مبلغ در پرانتز ، سپس دوباره تنظیم کنید تا برای_n :

$ $ شروع s_n & = s_ + a_n \ \ a_n = s_n - s_ end $ $

اکنون ما یک عبارت برای a داریم_nکه می توانیم از آن استفاده کنیم. در اینجا ماده اثبات وجود دارد:

در آخرین مرحله ما توجه می کنیم که N-1 → ∞ به عنوان N → ∞ ، بنابراین محدودیت ها یکسان هستند (ها). راه دیگر برای فکر کردن در مورد این است که برای مبالغ جزئی به اندازه کافی بزرگ از یک سری بی نهایت ، تفاوت بین a_nو الف_n-1وقتی N بزرگ است کوچک است. حالا اگر الف_nبه صفر همگرا نمی شود ، سپس مجموع شرایط ، الف_n، نمی تواند همگرا شود.

مثال 1: یک سری واگرا

راه حل: آزمون واگرایی به سادگی می پرسد که آیا دوره دوم این سریال محدودیت غیر صفر دارد یا خیر. اگر این کار را انجام دهد ، این سریال متفاوت است. محدودیت را می توان با استفاده از قانون L'Opital یافت:

حد صفر نیست. این یعنی

این سریال به حد محدود محدود نمی رسد ، اما همچنان به رشد خود ادامه می دهد. برای N بسیار بزرگ ، این سریال مانند ½ + ½ + ½ به نظر می رسد.

این سری همگرا نخواهد بود و بنابراین به عنوان یک سری برای نشان دادن برخی از عملکردهای با ارزش محدود بسیار مفید نیست.

این طرح اندازه هر اصطلاح را برای n = 1 تا 11 نشان می دهد و چگونه این سری با اضافه شدن اصطلاحات رشد می کند. یک سریال همگرا یک مجانب است که این جمع به عنوان N → ∞ نزدیک می شود.

اگر یک سری بی نهایت آزمایش واگرایی را انجام دهد ، ما با آن تمام شدیم. این یک سری همگرا نیست ، بنابراین نمی توان از آن برای نشان دادن یک عملکرد با ارزش محدود استفاده کرد.

مثال 2

اصطلاحات به صفر می روند ، اما سری ها متفاوت می شوند

نشان دهید که سری $ sum_^<infty>$ واگرایی

راه حل: این سریال نشان می دهد که فقط به این دلیل که تست واگرایی نشان می دهد که این سریال واگرایی نمی کند ، به این معنی نیست که ما نمی توانیم نشان دهیم که این روش دیگری را واگذار می کند. در اینجا اولین اصطلاحات این سریال آورده شده است:

واضح است که محدودیت اصطلاحات به عنوان n → ∞ صفر است:

بنابراین به نظر می رسد که این سری همگرا می شود: حد شرایط صفر است ، بنابراین آزمایش واگرایی را شکست نمی دهد. اما این یک آزمایش برای واگرایی است. این که یک سری با این آزمون متفاوت نیست ، لزوماً به معنای همگرایی نیست. این ممکن است با آزمایش دیگری واگرایی کند ، و این انجام می دهد.

به جمع جزئی اصطلاحات n ، s نگاه کنید_N، در زیر:

توجه کنید که این مدت به ترم ، عنصر در جمع سمت چپ بیشتر از عنصر در سمت راست است.

اکنون می توانیم بفهمیم (در زیر) مبلغ سمت راست چیست و صفر نیست ، بنابراین این مبلغ جزئی به صفر همگرا نمی شود ، بنابراین این سریال نیز انجام نمی شود.

هنگامی که یک سری با تست واگرایی متفاوت می شود ، یک سری واگرا است. هنگامی که آزمون واگرایی منفی است ، مانند این مورد ، این سریال ممکن است همگرا شود ، یا ممکن است با آزمایش دیگری متفاوت باشد ، دقیقاً همانطور که این کار انجام داد. فقط به این دلیل که آزمون واگرایی شکست می خورد ، به معنای همگرا بودن یک سری نیست.

مثال 3

راه حل: آزمون واگرایی محدودیت شرایط سریال را به عنوان n →. ما از قانون L'Opital استفاده خواهیم کرد:

و یک زن و شوهر دیگر (که اغلب با قانون L'Opital مورد نیاز است) محدودیت را نشان می دهد:

از آنجا که حد شرایط صفر نیست ، با اطمینان می توانیم نتیجه بگیریم که این سری همگرا نمی شود. اینجاست که تست واگرایی واقعاً مفید است. ما می توانیم برای بیشتر کاربردها از این سری حرکت کنیم زیرا واگرا است.

Xaktly.com توسط دکتر جف کروزان تحت مجوز Creative Commons Attribution-Noncommercial-Sharealike 3. 0 مجوز مجوز دارد.© 2012 ، جف کروزان. تمام متن و تصاویر موجود در این وب سایت که به طور خاص به منبع دیگری نسبت داده نشده توسط من ایجاد شده است و من تمام حقوق مربوط به استفاده از آنها را رزرو می کنم. هر گونه نظر بیان شده در این وب سایت کاملاً مال من است و لزوماً بازتاب نظرات هیچ یک از کارفرمایان من نیست. لطفاً هرگونه سؤال یا نظر را به jeff. cruzan@verizon. net ارسال کنید.